Categoria: Fisica

Nozioni sulla Fisica, tradizionale, relativistica, quantistica, …

Principio di indeterminazione

DIFFERENZE TRA MECCANICA CLASSICA E MECCANICA QUANTISTICA.

Banalmente la prima si basa su formalismi e concetti che presuppongono misure ‘continue’, cioè piccole a piacere, la seconda invece, come dice lo stesso nome, su misure ‘discrete’, asserisce, cioè, che ci sono misurazioni al disotto delle quali non si può scendere, ma ATTENZIONE, non per l’incapacità di poterle misurare, ma per loro ‘natura intrinseca’.

La ‘Relatività Ristretta’ di Einstein si basa sull’assunzione che ci sia una costante valida per ogni osservatore, cioè la ‘Velocità della luce’, indicata normalmente con la lettera c il cui valore, nel vuoto, è circa 3 · 10 ⁸ m/s

La meccanica quantistica si basa, anch’essa, sull’asserzione che ci sia una costante, la cosiddetta ‘Costante di Plank’, indicata con la lettera h il cui valore è circa 6,626 · 10 ^-34 J · s   (Joule per secondo).
Ora vediamo di capire cos’è e quali implicazioni comporta.

CONSIDERAZIONI SUL MODO DI OPERARE

Prima di entrare nel merito, vorrei anticipare due modalità operative nello studio della Fisica che vengono utilizzati nei formalismi matematici, praticamente sempre; questo perché risulta più comodo o utile.

La prima modalità sfrutta le ‘Proprietà fondamentali delle uguaglianze numeriche’

1)   Sommando o sottraendo uno stesso valore ad entrambi i membri dell’uguaglianza il valore dell’uguaglianza non cambia.

2)   Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’uguaglianza per uno stesso valore diverso da 0 il valore dell’uguaglianza non cambia

Questo concetto si può estendere dai valori numerici anche alle dimensioni delle grandezze.

Ricordiamo cosa significa ‘dimensione’ di una grandezza; indica le unità di misura delle grandezze fondamentali che la costituiscono.

Per es.:     la dimensione della velocità è una lunghezza diviso un tempo [V]=[L]/[T]
la dimensione dell’accelerazione è una lunghezza diviso un tempo al quadrato [A]=[L]/[T]²
la dimensione dell’Energia è una massa per la velocità al quadrato [m]·[V²] cioè [m]·[L]²/[T]²

La seconda, partendo da una formula, utilizzare unità di misura differenti per una variabile, oltre che per comodità anche per essere più coerenti con quello che si osserva.
Questo modo di operare, che utilizzeremo inseguito, mi lasciò alquanto perplesso quando frequentavo i primi anni dell’Università di Fisica a Genova, facendomi nascere delle perplessità e dubbi, non esplicitamente definiti, ma istintivi e, forse per questo motivo, tenute in disparte, procedendo con la frase ‘mi fido’ (ma rimane un punto da chiarire).

FONDAMENTI DI CINEMATICA

Cominciamo dai concetti base di movimento di un corpo; i parametri con cui lo possiamo esprimere sono la sua ‘Massa’, ‘Posizione’, ‘Velocità’, ‘Accelerazione’.
A scuola ci viene insegnato un metodo visivo per esporre questi concetti tramite un grafico, detto anche ‘Grafico orario’ perché è una funzione del Tempo.

Per descrivere la velocità (variabile v espressa in metri al secondo) di un corpo si può disegnare la funzione dello spazio (variabile x espressa in metri) che percorre al variare del tempo (variabile t espressa in secondi).

Per esempio un corpo fermo a 7 m. dallo 0 si può esprimere tramite questa funzione:

Cioè, in qualsiasi momento si trova sempre a 7 m dallo 0, sia all’inizio, dopo un secondo, dopo 2 e così via

In questo caso del corpo fermo, cioè velocità = 0, si vede che la pendenza è zero.

Analogamente un corpo che si muove a velocità costante lo possiamo rappresentare tramite una semiretta che ha una pendenza costante che indica il valore della velocità stessa.

1 m dallo 0 quando iniziamo la misura,
4 m dopo 1 secondo, 7 m dopo 2 secondi, … cioè un incremento costante dello spazio nel tempo di 3 metri ogni secondo. Possiamo dire che si muove alla velocità di 3 metri al secondo.

Nessuno però ci vieta, anzi, nel linguaggio comune è più usato, rappresentare la velocità in funzione dello spazio, quindi non più un grafico ‘orario’.

Rappresentiamo il nuovo grafico della velocità costante; in ogni punto ha sempre lo stesso valore:

Possiamo dare anche un verso alla velocità, ponendo la convenzione che sia:
positiva da sinistra a destra ( +6 ) si allontana negativa da destra a sinistra ( -6 ) si avvicina

MOTI PERIODICI

Quello che abbiamo visto ci è servito per capire gli strumenti che verranno utilizzati.
Ma il moto rettilineo uniforme non è un moto realistico, in natura si trovano movimenti circoscritti in uno spazio limitato: un pianeta attorno al Sole, una molecola in un contenitore, un elettrone attorno al protone nell’atomo di Idrogeno e così via.

Questi sono movimenti VINCOLATI, essendo limitati nello spazio, e quindi gli si può associare una ripetitività nel tempo, cioè si dicono PERIODICI; il tempo di rotazione della Terra, quanto ci mette la molecola a sbattere tra una parete e l’altra, il tempo di rotazione del Neutrone, …

Vediamo allora l’esempio di una pallina che rimbalza in modo perfettamente elastico tra due pareti, riproducibile sperimentalmente con una molecola in un contenitore.
Consideriamo la velocità in funzione dello spazio del moto della molecola in un contenitore; prendendo come origine degli assi il centro del contenitore; avremo la parete sinistra alla lunghezza -L dal centro, la parete destra a +L, la velocità della molecola positiva +V, quando si muove dalla parete di sinistra a quella di destra, e negativa -V quando torna indietro; al momento iniziale la molecola si trova al centro del contenitore, quindi x = 0 e si muove da sinistra a destra quindi, per nostra convenzione, con velocità +v, raggiunge la parete destra x = +L (Fase 1), rimbalza in modo elastico, quindi la velocità si inverte (ipotizziamo in un tempo infinitesimo, o perlomeno insignificante per il nostro esempio) diventando negativa -v, la molecola allora raggiunge la parete di sinistra x = -L (Fase 2), si invertono le condizioni e si ritorna allo stato iniziale al punto x = 0 (Fase 3) completando il ciclo per continuare in modo identico, ripetendosi nel tempo.

Ecco il primo esempio anticipato nel paragrafo ’Considerazioni sul modo di operare‘ dove abbiamo detto che a volte conviene cambiare le dimensioni di una variabile, perciò, anziché utilizzare la velocità come variabile, possiamo moltiplicarla per la massa della molecola. Questa nuova unità di misura (velocità · massa) non è altro che la quantità di moto rappresentata dal simbolo P.

Questa unità di misura, per ragioni storiche, è molto utilizzata in ‘Meccanica Razionale’ ed aggiunge una grandezza che consente di generalizzare la formula, da un punto geometrico ad un corpo di massa generica.

Quindi il grafico della quantità di moto in funzione dello spazio, formalmente P(x), sarà:

Con questo grafico abbiamo disegnato la traiettoria di un punto libero nello ‘Spazio delle Fasi’, argomento del terzo anno di Fisica teorica!

Il moto periodico in uno spazio unidimensionale, come nell’esempio, è descritto quindi, nello Spazio delle Fasi, da una traiettoria chiusa.

Se dovessimo rappresentarlo nello spazio tridimensionale occorrerebbe un grafico a 6 dimensioni, 3 per specificare la x e 3 per la P, ovviamente molto più complesso nel formalismo, ma concettualmente perfettamente uguale.

Ora noi possiamo definire una nuova unità di misura che chiameremo AZIONE, il cui simbolo è J, e che rappresentata dall’area definita dalla traiettoria in quella figura. L’area del rettangolo è base per altezza, dove, in questo caso, la base è data da 2L, l’altezza da 2P. Quindi l’area sarà: J = 2P · 2L quindi: J = 4PL

La dimensione dell’AZIONE è data da una quantità di moto per una lunghezza, o anche una velocità per una massa per una lunghezza, V·m·L, scomponendo la velocità in spazio/tempo si ha: L/T·m·L ottenendo infine: m·L²/T e può essere espressa in Kilogrammi per metri al quadrato diviso secondi: Kg·m²/s

Per semplificare, come avevamo già anticipato, se moltiplichiamo numeratore e denominatore per il tempo T, avremo: T·m· L²/T², siccome L²/T² è una velocità al quadrato allora T·m·V², ma abbiamo visto che m·V² rappresenta un’energia quindi l’Azione si può esprimere come un’Energia per il tempo esprimibile in Joule per secondo:    J = E·T                      La costante di Plank h è proprio un’ AZIONE

Il ‘Principio di indeterminazione di Heisenberg’ si basa sull’asserzione che un’Azione non possa essere più piccola del valore di h. Ne deriva che se prendiamo la superficie più piccola possibile, quindi con area h e stringiamo la base (x) in un intervallo Δx l’altezza (P) crescerà proporzionalmente ed analogamente se stringiamo l’altezza (P) in un intervallo ΔP la base (x) crescerà anch’essa proporzionalmente. Quindi più definisco la posizione del corpo, più ampia è l’incertezza del valore della sua quantità di moto o, che è concettualmente lo stesso, della sua velocità e viceversa.

La formula quindi diventa:   Δx · ΔP ≥ h

21 Gennaio, 2025

Modello ‘Standard’

Il modello Standard della fisica quantistica è una descrizione semplice ed elegante della Natura; è la teoria che descrive le particelle fondamentali e le forze attraverso le quali esse interagiscono; costituisce l’anello di congiunzione tra la fisica delle particelle fondamentali e l’astronomia. Per teoria si intende un formalismo che rende prevedibile, dato un valore iniziale, la misura di un qualcosa, tramite calcoli matematici che stanno alla base della teoria stessa.

Gli elementi base del modello Standard sono i ‘Campi’, infatti è detta ‘Teoria quantistica dei Campi’, e questi sono:

Campo Elettrico responsabile p.es. dei fulmini quando si crea un Campo elettrico tra le nuvole e la Terra

Campo Magnetico che determina l’interazione tra calamite

Campo di Higgs nuova entità che vedremo in seguito.

In essa sono descritte 3 delle 4 Forze fondamentali: Elettromagnetica, Nucleare Debole, Nucleare Forte.

La quarta forza che non viene considerata è la forza Gravitazionale.

Le particelle elementari fondamentali che costituiscono la materia che conosciamo e le interazioni tra essa si possono identificare in: Fermioni, Bosoni e Bosone di Higgs.

FERMIONI particelle di materia, suddivise in Quarks e Leptoni; alcune sono stabili ed altre instabili

BOSONI mediatori delle forze, cioè che generano e gestiscono le interazioni tra i Fermioni

Bosone HIGGS detta anche ‘particella di Dio’, prende nome dal fisico scozzese Higgs che ne teorizzò l’esistenza. Grazie a questa, le particelle, originariamente tutte con massa nulla, acquisterebbero ognuna la propria massa

Vediamo in dettaglio le caratteristiche di ciascuna di esse.

I Fermioni sono particelle di materia con una loro massa.

La materia, per quanto varia e complessa, è formata da solo 4 Fermioni (presenti nella prima colonna in rosso della loro tabella): Quark Up, Quark Down, Elettroni e Neutrini elettronici, che sono le uniche ad essere stabili, cioè posso perdurare infinitamente; gli altri Fermioni sono particelle instabili, che durano molto poco, infatti decadono in una delle 4 particelle stabili, per esempio il Quark Top decade in un Up o in un Down, un Muone decade in un Elettrone o nel suo corrispondente Neutrino.

Come una composizione musicale che si basa su poche note, anche per queste particelle elementari, grazie alle loro molteplici combinazioni, danno origine al nostro universo in tutte le sue forme conosciute.

I Bosoni non sono particelle di materia; amano i comportamenti collettivi anziché individuali, intervengono nelle interazioni tra i Fermioni mediando le forze che si generano, come se fungessero da portatori dell’informazione che ci deve essere un’interazione (Forza) tra uno o più Fermioni (particelle).
Un paragone, non corretto, ma che rende l’idea, è come nelle partite di calcio, ci sono 22 giocatori, e tutti si muovono ed interagiscono grazie alla presenza del ‘Pallone’; è lui che media e determina le forze di attrazione o repulsione tra i giocatori.
Vediamo qual è il loro campo di azione:

Ponendo vicini un Protone ed un Elettrone, ci sarà un interscambio continuo di Fotoni tra loro, questo scambio farà sì che le due particelle capiscano che si devono attrarre, cioè si genera una forza di attrazione Elettrica. Analogamente, se ci fossero 2 Protoni (o 2 Elettroni), questi si respingerebbero avendo riconosciuto, sempre tramite lo scambio di Fotoni, che sono prossimi ad una particella con la stessa carica.

Nell’atomo, al suo interno c’è il nucleo che è principalmente costituito di Protoni, ma allora, se abbiamo appena detto che tramite lo scambio continuo di Fotoni si dovrebbero respingere, come fanno a rimanere stabili nel nucleo? Perché intervengono i Gluoni, che, come fanno i Fotoni, informano i Protoni che si devono attrarre, cioè si genera una forza nucleare Forte, molto maggiore della forza Elettromagnetica, e questo li mantiene uniti.

Infine, ma non ultimo se non in ordine di scoperta, c’è il Bosone di Higgs, detto anche ‘particella di Dio’; prende nome dal fisico scozzese Peter Higgs che ne teorizzò l’esistenza nel 1964 poi confermata sperimentalmente nel 2012 ed ufficializzata nel 2013 dall’esperimento ATLAS del CERN nel suo laboratorio sotterraneo tra Svizzera e Francia.

Bosone di Higgs H rende il Vuoto un’entità che possiede determinate proprietà fisiche e con cui le particelle elementari possono interagire, quindi nel formalismo matematico, diventa un nuovo campo, detto appunto ‘Campo di Higgs’.
Il Bosone di Higgs, quindi, è come se riempisse il vuoto rendendolo come un fluido e le particelle, di conseguenza, è come se subissero un attrito. In base a come una particella che si muove nel Campo di Higgs, interagisce con il Bosone di Higgs, questa assume una sua massa.
Un paragone che ci può aiutare è quello di immaginare il campo di Higgs come una pista da sci; se sono uno sciatore, scivolerò via senza interagire con la neve, quindi come una particella con massa zero (p.es. Fotoni) e potrò raggiungere la massima velocità possibile (quella della luce c ≃ 3× 10⁸ m/s); se fossi dotato di ciaspole, affonderò leggermente nella neve e viaggerò lentamente, come una particella dotata di massa che interagisce con il campo (p.es. Elettroni) , se, infine, indosso solo gli scarponi affonderò di più nella neve e viaggerò molto lentamente come una particella con una grande massa (p.es. Quark Top, Bosoni Z e W^±).
Un altro approccio per questa interpretazione può essere quello di immaginare le particelle come pesci, di cui vogliamo studiarne le proprietà, come e quanto velocemente si muovono, quanto sono grandi, e così via. Certo, per fare questo, dobbiamo capire l’ambiente in cui essi vivono, in altre parole dobbiamo sapere che cos’è l’acqua.

Dimensioni espresse in metri (m):

Raggio dell’Universo osservabile	10⁺²⁶
Diametro della Via Lattea	10⁺²¹
Distanza dal Sole	10⁺¹¹
Terra	10⁺⁶
Uomo	1
Goccia di pioggia	10^-3
Batterio	10^-6
Atomo idrogeno	10^-10
Nucleo	10^-14
Protone	10^-15
Elettrone	10^-18

21 Gennaio, 2025

Meccanica quantistica
La meccanica quantistica (in seguito MQ) è la teoria della meccanica attualmente più completa, in grado di descrivere il comportamento della materia, della radiazione e le reciproche interazioni, dove le precedenti teorie classiche risultano inadeguate; le misure da essa calcolate sono estremamente precise e non sbagliano mai, il problema è che non si capisce il perché, come possa funzionare.
Capire la MQ non è possibile, il suo essere non rientra nella sfera dei nostri concetti naturali e tantomeno nel nostro linguaggio; Ludwig Wittgenstein, filosofo, ingegnere e logico austriaco, considerato da alcuni il massimo pensatore del XX secolo, ha fatto questa interessante osservazione:

‘E’ il linguaggio a doversi adattare ai fatti e non l’inverso. Cercare di modellare l’interpretazione di un fenomeno su un linguaggio già formato e riempito a priori può solo condurre a false conclusioni sulla natura delle cose’.

A voler fare filosofia è come aver fede in Dio, si afferma che Dio esiste, vediamo e godiamo del suo creato, ma non capiamo i suoi piani ed il suo modo di operare; l’americano Richard Feynman, Nobel per la fisica nel 1965 per l’elaborazione dell’elettrodinamica quantistica, disse: ’Penso di poter affermare che nessuno capisce la MQ”.

E’ importante specificare che la M.Q. risulta valida per qualsiasi corpo, ma assume significato nei fenomeni caratteristici della scala di lunghezza o di energia atomica e subatomica, comparabili con la ‘Costante di Plank’, il cui valore è circa 6,626 · 10 ^-34 J · s (Joule per secondo); più precisamente la MQ è lo strumento che descrive fenomeni di cui misuriamo alcune proprietà, ma che non riusciamo a vedere nei dettagli, non riusciamo neanche ad immaginarli, sono parte intrinseca della natura e il loro limite è la costante di Plank.

Nel mondo macroscopico, quindi, non si riescono a percepire, un po’ come indicato da Einstein con la ‘Relatività ristretta’, dove si ha un aumento della massa all’aumentare della sua velocità, ma questo fenomeno lo possiamo osservare solo all’approssimarsi della velocità della luce.

Proprio questa analogia fu fonte di discussione tra Heisenberg ed Einstein; quando quest’ultimo criticava le logiche che avevano portato Heisenberg, neanche ventisettenne, alla formulazione del principio di indeterminazione, questo gli fece notare che anche Einstein aveva adottato una logica analoga, affermando l’esistenza di un limite che la velocità non può superare, in contrapposizione con la consolidata ‘composizione delle velocità’ galileiana.

Per spiegare la MQ, o meglio per poterne parlare, vediamo quali sono le sue caratteristiche; cechiamo di approfondire tre suoi principi fondamentali:
1. Principio di Complementarietà
  Ogni particella ha una doppia natura, un comportamento diverso a seconda della situazione, ondulatoria o corpuscolare, cioè può essere identificata come un corpo materiale o come un’onda.
  Per esempio la luce si definisce un’onda elettromagnetica e si comporta come tale, nei fenomeni della diffrazione, dell’interferenza e così via, mentre nei fenomeni fotoelettrici, si comporta come un corpuscolo. Quindi le particelle sono Onde o Corpuscoli? Ne’ l’uno e né l’altro.
  Come possiamo capire questa anomalia che sembra essere illogica; alla fine del 1700 si conoscevano due classi animali: Mammiferi e Ovipari. Quando si individuò l’Ornitorinco ci fu un po’ di confusione, chi lo definiva Mammifero rifiutava che deponesse le uova, altri lo vollero Oviparo rifiutando che avesse le mammelle e che secernesse il latte. Eppure l’Ornitorinco, se pur ‘anomalo’ esisteva, ma la sua anomalia non dipendeva da lui, ma solo dal fatto che lo si voleva incastrare in una delle due possibili Classi animali che si conoscevano allora; occorreva creare la nuova classe degli Ovovivipari.
  Quindi, in conclusione, gli oggetti che considera la MQ trascendono la classificazione tradizionale, ma sono perfettamente spiegabili da un impianto matematico estremamente complesso che, come già detto, descrive perfettamente tutti i fenomeni che osserviamo, pur non capendo il suo profondo significato.
- Principio di Indeterminazione
  E’ impossibile guardare (misurare) qualcosa e vederlo come è realmente, ma solo come è nel momento in cui lo si vede (misura). Un esempio banale e ovviamente non corretto, ma che può rendere una vaga idea del concetto, può essere la situazione di un uomo in una stanza al buio che cerca il suo gatto; l’uomo si muove all’interno della stanza finché calpesta la coda del gatto, cioè lo trova, ma proprio nello stesso istante il gatto è scappato via, quindi la determinazione della posizione del gatto avviene solo nell’istante del ritrovamento (misura), non ha un suo unico valore a priori, ma infinite possibilità; non conosco la posizione del gatto ne prima ne dopo che gli ho calpestato la coda!
- Principio di Sovrapposizione degli stati
  La logica conseguenza del precedente principio è che lo ‘Stato di un’osservabile’ di un sistema fisico (il gatto nella stanza) risulta essere la somma delle probabilità di trovarsi in uno dei suoi possibili ‘Stati‘.
  Per la MQ il gatto si trova ovunque nella stanza prima e dopo il suo ritrovamento, con una certa possibilità di trovarsi in un determinato punto; questa è una proprietà intrinseca, non perché non abbiamo i mezzi per poterla misurare, anche se non si riesce a capire!
  Qualcuno potrebbe affermare che comunque, anche se l’uomo non sa dov’è il gatto, quest’ultimo si trovi in una determinata posizione in un certo istante! Proprio questa affermazione aveva dato origine alla disputa di Einstein con Heisenberg, ed è il cosiddetto ‘realismo di Einstein’ a cui piaceva dire:
  ‘la Luna è lassù anche quando nessuno la sta osservando’; ma questo è un limite della nostra mente, riferito al nostro mondo macroscopico ed al linguaggio che usiamo.
  Un esempio che può aiutare a capire la definizione degli ‘Stati’ è quello di un uomo che lancia una moneta e la fa cadere al suolo, ma la moneta finisce sotto la poltrona. Ora la moneta si può trovare in tre situazioni (Stati): Testa, Croce o in verticale. Finché l’uomo non la vede, lo stato della moneta è la somma delle probabilità che la moneta si in uno dei suoi possibili tre stati.
  Solo quando l’uomo sposta la poltrona e la vede (misura) allora i tre possibili stati ‘collassano’ in uno di essi ed in modo ‘INTRINSECAMENTE CASUALE’.
  Sembra quindi che l’azione di osservare la realtà ne determini una mutazione, da sovrapposizione dei possibili stati ad uno specifico e in modo casuale! Questo è sconvolgente, sembra assurdo, non si riesce a capire!
In conclusione, la MQ non dice come è la realtà, ma ci consente, tramite il suo formalismo matematico, di spiegare i vari fenomeni che osserviamo e solo tramite esso è possibile dare delle definizioni.
Una particella non è ne corpuscolo ne onda, ma è rappresentabile tramite una ‘funzione d’onda’, cioè una funzione matematica definita in uno spazio (spazio di Hilbert) di numeri complessi. La formula che associa lo stato di una particella alla sua funzione d’onda è data dall’equazione di Schrödinger, cioè un’equazione differenziale parziale lineare che descrive l’evoluzione di uno stato quantico in un modo simile alle leggi di Newton (la seconda legge in particolare) nella meccanica classica.

Da un punto di vista fisico quindi, possiamo immaginarci la particella come una densità di energia che ha una probabilità di trovarsi da qualche parte nello spazio e questa probabilità è estraibile dall’onda associata alla particella.

Ma se ci poniamo la questione della realtà fisica che c’è dietro non ne sappiamo nulla e forse non ne sapremo mai nulla perché è qualcosa che per sua natura ci sfugge.

Immaginiamo che un regista voglia rappresentare l’idea di un viaggio; potrebbe riprendere un treno che parte, oppure l’immagine di un passeggero che guarda il paesaggio scorrere dal finestrino, oppure delle valigie alla stazione degli autobus; tutte sono valide e nessuna, assumono una loro valenza a seconda del contesto in cui vengono inserite, ma se noi andiamo alla ricerca di un qualcosa di reale e fisico che descriva il viaggio in modo preciso ed inequivocabile allora ci dobbiamo rassegnare, stiamo cercando qualcosa che non possiamo trovare, ma non perché non siamo in grado di capirlo o perché non esista o per dei limiti della nostra capacità di ricerca, ma perché il concetto di viaggio, per sua natura non può essere imbrigliato.

Per chi volesse approfondire la questione matematica a seguire darò un brevissimo accenno sui numeri complessi e sulla lunghezza d’onda.

NUMERI COMPLESSI

Abbiamo detto che la MQ non si può esprimere con numeri reali, ma solo con numeri complessi (equazione di Schrödinger), da qui l’impossibilità di raccontarla con il linguaggio naturale.

I numeri complessi sono formati da numeri reali e da numeri immaginari; quest’ultimi hanno lo scopo di poter calcolare la radice quadrata di un numero negativo, la cui specifica parte dalla definizione di un’unità immaginaria identificata con la lettera ‘i‘ che rappresenta la radice di -1, quindi si ha questa definizione:

  i = -1        da cui            i ² = -1

quindi per risolvere la radice di -4 possiamo esprimere:

Più precisamente, i numeri complessi sono la somma algebrica di numeri reali ed immaginari, per cui li possiamo definire come una coppia di numeri, il primo che identifica la parte reale ed il secondo la parte immaginaria; il formalismo è quello di indicare la coppia separata da una virgola e racchiusa tra parentesi tonde: (R,i). Per poterli rappresentare geometricamente quindi non è sufficiente una retta (come per i numeri reali), ma occorre utilizzare un piano con l’asse orizzontale che rappresenta la retta dei numeri reali e l’asse verticale che rappresenta la retta dei numeri immaginari.
Per esempio i numeri complessi (-0.8,i/2), (1, i), (2,i), (3,i), (-2,-i) e (3,-i) si rappresentano così:

Cioè un numero complesso può essere rappresentato come un vettore nel piano di Argand-Gauss.

Loro proprietà: Elemento neutro, opposto, coniugato ed inverso o reciproco

Nell’insieme dei numeri reali sappiamo che 0 e 1 sono gli elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto e che, se R è un numero reale diverso da zero, –R  è il suo opposto e   1/R = R ^-1 è il suo inverso.

Anche nell’insieme dei numeri complessi possiamo definire tali quantità. In particolare:

(0,0)       è l’elemento neutro rispetto alla somma; graficamente coincide con l’origine degli assi del piano complesso;

(-a,-b)    è l’opposto del numero complesso (a,b); graficamente l’opposto di un numero complesso è il simmetrico rispetto all’origine degli assi, nell’esempio (2,i)   ed il suo opposto (-2,-i) .

(1,0)      è l’elemento neutro rispetto al prodotto.

(a,-b)     è il coniugato del numero complesso (a,b). In dettaglio, dato il numero complesso z = (a,b) si indica il suo complesso coniugato con

Da un punto di vista grafico il coniugato di un numero complesso è il suo simmetrico rispetto all’asse dei numeri reali, nell’esempio (3,i) ed il suo coniugato (3,-i).

Non espongo l’inverso moltiplicativo perché è un po’ complicato e non ci serve allo scopo.

Nel momento in cui, tramite la MQ, misuriamo la posizione di un oggetto facciamo un’operazione matematica, e precisamente moltiplichiamo il numero complesso misurato per il suo complesso coniugato e lo eleviamo al quadrato ottenendo il vettore che definisce la probabilità della posizione del punto rispetto l’origine degli assi, questo fa rientrare la funzione di numeri immaginari in numeri reali, cioè facciamo collassare lo stato da uno spazio immaginario in uno reale e quindi riusciamo a misurarlo e a darne una spiegazione umana.
21 Gennaio, 2025

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Modello ‘Standard’

Meccanica quantistica